O que se perde ao diminuir a resolução?
A ideia maluca de Fourier:
Qualquer função univariada pode ser reescrita como uma soma ponderada de senos e cossenos de diferentes frequências
Domínio espacial versus domínio da frequência
- O próprio plano da imagem
- Manipulação direta de pixels
- Mudanças na posição do pixel correspondem a mudanças na cena
- Transformada de Fourier de uma imagem
- Diretamente relacionado à taxa de variações na imagem –
- Mudanças na posição do pixel correspondem a mudanças na frequência
Visão geral do domínio da frequência
- Altas frequências correspondem a intensidades que variam rapidamente entre os pixels
- Componentes de baixa frequência correspondem a estruturas de imagem em grande escala
- Processamento de imagem no domínio da frequência através da transformada de Fourier
Definição da transformada de Fourier (1D)
- Transformada direta de Fourier
$F(u) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i2\pi ux}dx$
- Transformada inversa
$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} F(u)e^{i2\pi ux}du$
- Nota:
- $e^{iwx} = cos(\omega x) + i sin(\omega x)$
- quando $\omega = 2 \pi u$ é a frequência radial
- u é a frequência espacial
- $i = \sqrt{-1} $
Propriedades da transformada de Fourier
Definição da transformada de Fourier
- transformada direta de Fourier
- $ F(u, v) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) e^{-2 \pi (ux + vy)} dx dy $
- Transformada inversa de Fourier
- f(x,y) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} F(u, v) e ^{i2\pi (ux + vy) dudv $
- utiliza sinusoides de valores complexos
Transformada discreta de Fourier (DFT)
- Transformada discreta direta de Fourier
- $ F(u,v) = \sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x,y) e^{-i2\pi (\frac{ux}{M} + \frac{vy}{N})} $
- Transformada discreta inversa de Fourier
- $ f(x,y) = \frac{1}{MN} \sum_{u=0}^{M-1} \sum_{v=0}^{N-1} F(u,v) e^ {i2\pi ( \frac{ux}{M} + \frac{vy} {N} )}$
Filtragem no domínio da frequência
- Cada $𝐹(𝑢, 𝑣)$ depende de todos os $f(x,y) $
- •Frequências no domínio de Fourier correspondem a padrões na imagem •
- O valor de $𝐹(0,0)$ é a intensidade média sobre todos os pixels da imagem •
- Baixas frequências correspondem a intensidades que variam lentamente entre os pixels •
- Altas frequências correspondem a mudanças rápidas de intensidade entre os pixels •
- O ruído geralmente corresponde a flutuações nas frequências mais altas
