해상도를 낮출 때 무엇이 손실되는가?
푸리에의 기발한 발상:
어떤 일변수 함수라도 서로 다른 주파수를 갖는 사인 및 코사인의 가중치 합으로 다시 표현될 수 있다
공간 도메인 대 주파수 도메인
- 이미지 평면 자체
- 픽셀의 직접 조작
- 픽셀 위치의 변화는 장면의 변화에 대응함
- 이미지의 푸리에 변환
- 이미지의 변화율과 직접적으로 관련됨 –
- 픽셀 위치의 변화는 주파수의 변화에 대응함
주파수 도메인 개요
- 고주파수는 픽셀 간의 급격한 밝기 변화에 대응함
- 저주파 성분은 대규모 이미지 구조에 대응함
- 푸리에 변환을 통한 주파수 도메인 영상 처리
푸리에 변환의 정의 (1차원)
- 순방향 푸리에 변환
$F(u) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i2\pi ux}dx$
- 역변환
$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} F(u)e^{i2\pi ux}du$
- 참고:
- $e^{iwx} = cos(\omega x) + i sin(\omega x)$
- $\omega = 2 \pi u$가 각주파수일 때
- u는 공간 주파수임
- $i = \sqrt{-1} $
푸리에 변환의 성질
푸리에 변환의 정의
- 순방향 푸리에 변환
- $ F(u, v) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) e^{-2 \pi (ux + vy)} dx dy $
- 역 푸리에 변환
- f(x,y) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} F(u, v) e ^{i2\pi (ux + vy) dudv $
- 복소수 값을 가지는 정현파를 사용함
이산 푸리에 변환 (DFT)
- 순방향 이산 푸리에 변환
- $ F(u,v) = \sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x,y) e^{-i2\pi (\frac{ux}{M} + \frac{vy}{N})} $
- 역 이산 푸리에 변환
- $ f(x,y) = \frac{1}{MN} \sum_{u=0}^{M-1} \sum_{v=0}^{N-1} F(u,v) e^ {i2\pi ( \frac{ux}{M} + \frac{vy} {N} )}$
주파수 도메인 필터링
- 각 $𝐹(𝑢, 𝑣)$는 모든 $f(x,y) $에 의존함
- •푸리에 도메인의 주파수는 이미지의 패턴에 대응함 •
- $𝐹(0,0)$의 값은 이미지의 모든 픽셀에 대한 평균 밝기임 •
- 저주파수는 픽셀 간의 완만한 밝기 변화에 대응함 •
- 고주파수는 픽셀 간의 급격한 밝기 변화에 대응함 •
- 노이즈는 일반적으로 최고 주파수의 변동에 해당함
