Was geht verloren, wenn die Auflösung verringert wird?
Fouriers verrückte Idee:
Jede univariate Funktion kann als gewichtete Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen verschiedener Frequenzen umgeschrieben werden
Orts- versus Frequenzbereich
- Die Bildebene selbst
- Direkte Manipulation von Pixeln
- Änderungen der Pixelposition entsprechen Änderungen in der Szene
- Fourier-Transformation eines Bildes
- Direkt verknüpft mit der Änderungsrate im Bild –
- Änderungen der Pixelposition entsprechen Änderungen in der Frequenz
Überblick über den Frequenzbereich
- Hohe Frequenzen entsprechen sich schnell ändernden Intensitäten zwischen Pixeln
- Niederfrequente Komponenten entsprechen großräumigen Bildstrukturen
- Bildverarbeitung im Frequenzbereich mittels Fourier-Transformation
Definition der Fourier-Transformation (1D)
- Vorwärts-Fourier-Transformation
$F(u) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i2\pi ux}dx$
- Inverse Transformation
$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} F(u)e^{i2\pi ux}du$
- Hinweis:
- $e^{iwx} = cos(\omega x) + i sin(\omega x)$
- wobei $\omega = 2 \pi u$ die Kreisfrequenz ist
- u ist die Ortsfrequenz
- $i = \sqrt{-1} $
Eigenschaften der Fourier-Transformation
Definition der Fourier-Transformation
- Vorwärts-Fourier-Transformation
- $ F(u, v) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) e^{-2 \pi (ux + vy)} dx dy $
- Inverse Fourier-Transformation
- f(x,y) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} F(u, v) e ^{i2\pi (ux + vy) dudv $
- verwendet komplexwertige Sinusoide
Diskrete Fourier-Transformation (DFT)
- Diskrete Vorwärts-Fourier-Transformation
- $ F(u,v) = \sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x,y) e^{-i2\pi (\frac{ux}{M} + \frac{vy}{N})} $
- Inverse diskrete Fourier-Transformation
- $ f(x,y) = \frac{1}{MN} \sum_{u=0}^{M-1} \sum_{v=0}^{N-1} F(u,v) e^ {i2\pi ( \frac{ux}{M} + \frac{vy} {N} )}$
Filterung im Frequenzbereich
- Jedes $𝐹(𝑢, 𝑣)$ hängt von allen $f(x,y) $ ab
- •Frequenzen im Fourier-Bereich entsprechen Mustern im Bild •
- Der Wert von $𝐹(0,0)$ ist die durchschnittliche Intensität über alle Pixel des Bildes •
- Niedrige Frequenzen entsprechen langsam variierenden Intensitäten über Pixel hinweg •
- Hohe Frequenzen entsprechen schnellen Intensitätsänderungen über Pixel hinweg •
- Rauschen entspricht typischerweise Fluktuationen in den höchsten Frequenzen
