Cosa si perde riducendo la risoluzione?
La folle idea di Fourier:
Qualsiasi funzione univariata può essere riscritta come somma ponderata di seni e coseni di frequenze diverse
Dominio spaziale rispetto al dominio delle frequenze
- Il piano dell'immagine stesso
- Manipolazione diretta dei pixel
- I cambiamenti nella posizione dei pixel corrispondono a cambiamenti nella scena
- Trasformata di Fourier di un'immagine
- Direttamente correlata al tasso di variazione nell'immagine –
- I cambiamenti nella posizione dei pixel corrispondono a cambiamenti nella frequenza
Panoramica del dominio delle frequenze
- Le alte frequenze corrispondono a intensità che variano rapidamente tra i pixel
- Le componenti a bassa frequenza corrispondono a strutture dell'immagine su larga scala
- Elaborazione delle immagini nel dominio delle frequenze tramite la trasformata di Fourier
Definizione della trasformata di Fourier (1D)
- Trasformata di Fourier diretta
$F(u) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i2\pi ux}dx$
- Trasformata inversa
$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} F(u)e^{i2\pi ux}du$
- Nota:
- $e^{iwx} = cos(\omega x) + i sin(\omega x)$
- quando $\omega = 2 \pi u$ è la frequenza radiale
- u è la frequenza spaziale
- $i = \sqrt{-1} $
Proprietà della trasformata di Fourier
Definizione della trasformata di Fourier
- trasformata di Fourier diretta
- $ F(u, v) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) e^{-2 \pi (ux + vy)} dx dy $
- Trasformata inversa di Fourier
- f(x,y) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} F(u, v) e ^{i2\pi (ux + vy) dudv $
- utilizza sinusoidi a valori complessi
Trasformata discreta di Fourier (DFT)
- Trasformata discreta di Fourier diretta
- $ F(u,v) = \sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x,y) e^{-i2\pi (\frac{ux}{M} + \frac{vy}{N})} $
- Trasformata discreta di Fourier inversa
- $ f(x,y) = \frac{1}{MN} \sum_{u=0}^{M-1} \sum_{v=0}^{N-1} F(u,v) e^ {i2\pi ( \frac{ux}{M} + \frac{vy} {N} )}$
Filtraggio nel dominio delle frequenze
- Ogni $𝐹(𝑢, 𝑣)$ dipende da tutti gli $f(x,y) $
- •Le frequenze nel dominio di Fourier corrispondono a pattern nell'immagine •
- Il valore di $𝐹(0,0)$ è l'intensità media su tutti i pixel dell'immagine •
- Le basse frequenze corrispondono a intensità che variano lentamente tra i pixel •
- Le alte frequenze corrispondono a rapide variazioni di intensità tra i pixel •
- Il rumore corrisponde tipicamente a fluttuazioni nelle frequenze più elevate
