Qu'est-ce qui est perdu lors de la réduction de la résolution ?
L'idée folle de Fourier :
Toute fonction univariée peut être réécrite comme une somme pondérée de sinus et de cosinus de différentes fréquences
Domaine spatial contre domaine fréquentiel
- Le plan de l'image lui-même
- Manipulation directe des pixels
- Les changements de position des pixels correspondent à des changements dans la scène
- Transformée de Fourier d'une image
- Directement lié au taux de variation dans l'image –
- Les changements de position des pixels correspondent à des changements de fréquence
Aperçu du domaine fréquentiel
- Les hautes fréquences correspondent à des variations rapides d'intensité entre les pixels
- Les composantes basse fréquence correspondent aux structures à grande échelle de l'image
- Traitement d'images dans le domaine fréquentiel via la transformée de Fourier
Définition de la transformée de Fourier (1D)
- Transformée de Fourier directe
$F(u) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i2\pi ux}dx$
- Transformée inverse
$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} F(u)e^{i2\pi ux}du$
- Remarque :
- $e^{iwx} = cos(\omega x) + i sin(\omega x)$
- lorsque $\omega = 2 \pi u$ est la pulsation
- u est la fréquence spatiale
- $i = \sqrt{-1} $
Propriétés de la transformée de Fourier
Définition de la transformée de Fourier
- transformée de Fourier directe
- $ F(u, v) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) e^{-2 \pi (ux + vy)} dx dy $
- Transformée de Fourier inverse
- f(x,y) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} F(u, v) e ^{i2\pi (ux + vy) dudv $
- utilise des sinusoïdes à valeurs complexes
Transformée de Fourier discrète (TFD)
- Transformée de Fourier discrète directe
- $ F(u,v) = \sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x,y) e^{-i2\pi (\frac{ux}{M} + \frac{vy}{N})} $
- Transformée de Fourier discrète inverse
- $ f(x,y) = \frac{1}{MN} \sum_{u=0}^{M-1} \sum_{v=0}^{N-1} F(u,v) e^ {i2\pi ( \frac{ux}{M} + \frac{vy} {N} )}$
Filtrage dans le domaine fréquentiel
- Chaque $𝐹(𝑢, 𝑣)$ dépend de tous les $f(x,y) $
- • Les fréquences dans le domaine de Fourier correspondent à des motifs dans l'image •
- La valeur de $𝐹(0,0)$ est l'intensité moyenne sur tous les pixels de l'image •
- Les basses fréquences correspondent à des variations lentes d'intensité entre les pixels •
- Les hautes fréquences correspondent à des variations rapides d'intensité entre les pixels •
- Le bruit correspond généralement à des fluctuations dans les plus hautes fréquences
