解像度を下げると何が失われるのか？
フーリエの大胆なアイデア：
任意の1変数関数は、異なる周波数の正弦波と余弦波の重み付き和として表現できる
空間領域と周波数領域
- 画像平面そのもの
- ピクセルの直接操作
- ピクセル位置の変化はシーンの変化に対応する
- 画像のフーリエ変換
- 画像の変化率に直接関連している –
- ピクセル位置の変化は周波数の変化に対応する
周波数領域の概要
- 高周波成分はピクセル間の急速な輝度変化に対応する
- 低周波成分は大局的な画像構造に対応する
- フーリエ変換による周波数領域の画像処理
フーリエ変換の定義（1次元）
- フーリエ順変換
$F(u) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i2\pi ux}dx$
- 逆変換
$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} F(u)e^{i2\pi ux}du$
- 注意：
- $e^{iwx} = cos(\omega x) + i sin(\omega x)$
- ここで $\omega = 2 \pi u$ は角周波数
- u は空間周波数
- $i = \sqrt{-1} $
フーリエ変換の性質
フーリエ変換の定義
- フーリエ順変換
- $ F(u, v) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) e^{-2 \pi (ux + vy)} dx dy $
- フーリエ逆変換
- f(x,y) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} F(u, v) e ^{i2\pi (ux + vy) dudv $
- 複素数値の正弦波を使用
離散フーリエ変換（DFT）
- 離散フーリエ順変換
- $ F(u,v) = \sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x,y) e^{-i2\pi (\frac{ux}{M} + \frac{vy}{N})} $
- 離散フーリエ逆変換
- $ f(x,y) = \frac{1}{MN} \sum_{u=0}^{M-1} \sum_{v=0}^{N-1} F(u,v) e^ {i2\pi ( \frac{ux}{M} + \frac{vy} {N} )}$
周波数領域フィルタリング
- 各 $𝐹(𝑢, 𝑣)$ はすべての $f(x,y) $ に依存する
- •フーリエ領域の周波数は画像のパターンに対応する •
- $𝐹(0,0)$ の値は画像の全ピクセルの平均輝度である •
- 低周波成分はピクセル間の緩やかな輝度変化に対応する •
- 高周波成分はピクセル間の急激な輝度変化に対応する •
- ノイズは一般に最高周波数域の変動に対応する
